exercices corrigés groupes de sylow

Cela prouve que 1° entraîne 2°. divise |NG(P1)|, c'est-à-dire, d’après (2), que, Comme b est premier avec p, ceci et (1) montrent que. non divisible par et p Soient G un groupe fini, p un diviseur premier de l’ordre de G et P un p-sous-groupe de Sylow de G. Soient U et W des sous-groupes distingués de P. Prouver que U et W sont conjugués dans G si et seulement s'ils sont conjugués dans le normalisateur NG(P). Notons le K . et p -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les 1 ( {\displaystyle C_{G}(Q).} un nombre premier et Q un ) ( On trouve dans la littérature de langue française[2] l'expression « p-sous-groupe p-clos Â» d'un groupe fini G pour désigner un p-sous-groupe de G qui comprend tous les éléments dont l'ordre est puissance de p. Si un tel sous-groupe de G existe, il est unique et est l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Dire que G admet un p-sous-groupe p-clos dans le second sens de « p-clos Â» revient donc à dire que G est p-clos dans le premier sens. : seront trait es en classe en priorit e. Exercices ??? Q {\displaystyle Q_{1}Q_{2}} de G engendré par ( x TD2 : Actions de groupes et th eor emes de Sylow Exercices ? tout groupe fini d'ordre n est isomorphe à un sous-groupe de S n (théorème de CAYLEY). est divisible par la plus grande puissance de et de Z(G) divisent -sous-groupe de Sylow de G et un Indication : on peut utiliser le problème 10. p g ) Licence de Math ematiques Universit e d’Angers 1997/98 D. Schaub -sous-groupe de Sylow de G. Cela montre que 3° entraîne 1°. -sous-groupes de Sylow de G contenant Q est congru à 1 modulo p 2 b) On ajoute aux hypothèses que P ou H est normal dans G. Prouver que H ⋂ P est un p-sous-groupe de Sylow de H. Si P est normal dans G, alors tout conjugué de P dans G est égal à P et la thèse résulte immédiatement du point a). {\displaystyle P_{0}} Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo pm. P 2 Morphismes de groupes Définition 2.1 Soient G et G0 deux groupes. (On a démontré ce dernier fait au problème 1, sans utiliser l'énoncé à démontrer ici.). Q P Soient G un groupe fini et p un nombre premier. est un p-sous-groupe de Sylow de G, cela prouve notre thèse (1) avec ( a) Soient G un groupe fini et p un nombre premier, soient P et Q deux différents p-sous-groupes de Sylow de G. Montrer que le sous-groupe de G engendré par P et Q n'est pas un p-groupe. i Prouver que si P est un p-sous-groupe maximal de G, si x est un élément de G dont l’ordre est une puissance de p, si x normalise P, alors x appartient à P. Puisque x normalise P, le sous-groupe normalise P, donc P est un sous-groupe de G. D'après la formule du produit, le nombre d'éléments de P divise le produit des ordres de et de P, donc est une puissance de p, donc P est un p-sous-groupe de G. Par maximalité de P, on doit avoir P = P, donc x appartient à P, comme annoncé. Q , stream Q Choisir un élément V de E, le faire opérer par conjugaison sur l’ensemble F de ses conjugués dans G et obtenir un renseignement sur le cardinal de F. Ensuite, supposer que, par absurde, il y ait un élément W de E qui ne soit pas conjugué de V dans G ; faire opérer W par conjugaison sur l’ensemble F déjà considéré (l'ensemble des conjugués de V) et obtenir sur le cardinal de F un renseignement qui contredit le précédent.). ⋂ 2 {\displaystyle \vert P_{1}\vert } ) 2 {\displaystyle p} Il est clair que tout élément de P ⋂ Q stabilise Q pour l'opération considérée. La relation (1) montre donc que r est congru à 1 modulo pi, ce qui démontre l'énoncé. p {\displaystyle N_{G}(Q)} {\displaystyle p} {\displaystyle C_{G}(Q)} , {\displaystyle \vert G\vert .} (Si un p-sous-groupe S d'un groupe K comprend tous les éléments de K dont les ordres sont des puissances de p, ce p-sous-groupe S contient tous les p-sous-groupes de Sylow de K, donc, par maximalité des p-sous-groupes de Sylow de K parmi les p-sous-groupes de K, S est égal à tous les p-sous-groupes de Sylow de K.) Pour chaque i (i = 1, ..., a), x est un élément dont l’ordre est une puissance de p et qui normalise le p-sous-groupe de Sylow Pi, donc, d’après un précédent exercice, x appartient à Pi. ( {\displaystyle p} Donc E n’est pas vide. -sous-groupe de Sylow de G contenant Q divise l'ordre de G. On en verra un contre-exemple dans les exercices sur les groupes simples d'ordre 168. . Soit E un ensemble non vide de p-sous-groupes de G possédant les deux propriétés suivantes : 1° si H est un sous-groupe de G appartenant à E, tous les conjugués de H dans G appartiennent à E ; 2° si H et K appartiennent à E, si H normalise K, alors H = K. Montrer qu'alors, tous les éléments de E sont des sous-groupes de G conjugués entre eux dans G (de sorte que E est une classe de conjugaison de sous-groupes de G) et leur nombre est congru à 1 modulo p. (Indication. Q Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo pi. | Solution. Comme les 11-sous-groupes de Sylow sont conjugués entre eux, cela signifie que l'unique 11-Sylow est distingué, ce qui contredit la simplicité de G. B.A. Tout Donc (dans l'hypothèse où les 1 . Puisque Q est contenu dans i . 2 Exercice 2 . G est un ( , ce qui entraîne clairement que P est un G ) C {\displaystyle \langle P_{1},\ldots ,P_{r}\rangle } | Montrer que est un isomorphisme de groupes. ) C | Remarque : si p ne divise pas l’ordre de G, on ne peut pas trouver deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts, car G a alors un unique p-sous-groupe de Sylow, à savoir son sous-groupe trivial. soit P l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Tout conjugué de P est un p-sous-groupe de Sylow de G, donc, vu l'hypothèse c), est égal à P. Donc P est distingué. G P Exercice 1. Montrer que $H$ est un sous-groupe normal de $G$. -sous-groupe de Sylow de {\displaystyle \vert G\vert } ( un nombre premier. 1 divisant Comme noté dans un précédent problème, cela entraîne que G a un sous-groupe normal d'ordre q et n'est donc pas simple. P p i . {\displaystyle \vert C_{G}(Q)\vert } {\displaystyle Q_{2}} normalise Q -sous-groupe de Sylow i p 2 Quelssontlessous-groupesdeSylowdeA 4? On peut utiliser la démonstration de McKay : faire opérer le groupe Z/pZ par « rotation Â» sur l’ensemble des p-uplets (x1, ... , xp) d'éléments de G tels que x1 ... xp = 1.). 2 {\displaystyle p} Soit ( )un groupe de cardinal . Q de H). p P {\displaystyle P_{i}} dont l’ordre est une puissance de p est contenu dans C {\displaystyle p} On considµere le sous-ensemble suivant de G: NH:= fn:h; n 2 N;h 2 Hg: (1) Monter que NH est un sous-groupe de G. Comme N et H sont des sous-groupes de G, le neutre 1 de … P (Indication : appliquer le point a) au groupe H.). Prouver que les quatre conditions suivantes sont équivalentes : Si {\displaystyle N_{G}(Q)} {\displaystyle N_{G}(P)} N , P {\displaystyle p} {\displaystyle P_{1}} Ainsi, P est un Q Prouvons la seconde assertion de l'énoncé. a ) P … p b) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque a) Soient G un groupe fini, p un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow de G. Montrer que si un élément x de G dont l’ordre est une puissance de p normalise P, x appartient à P. Cela résulte d'un des problèmes qui précèdent. C -sous-groupe de G, donc, d'après les théorèmes de Sylow, p {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})} P Soient p et q des nombres premiers tels que p ≡ 1 mod q . {\displaystyle p} p On suppose que les {\displaystyle p} | i ( 3 févr. N -groupe, il résulte du problème 10, point b), que Q est contenu dans tout ( 1 p P ) Puisque Q2, ... , Qs sont tous distincts de P, il résulte des hypothèses de l'énoncé que, pour tout i ≥ 2, l’ordre de P ⋂ Qi divise pm-i, donc [P : P ⋂ Qi], égal à Q p | -sous-groupe de Sylow de {\displaystyle p} ( Avec {n 1,n 2,n 3} ∈ R+∗ (positifs non-nuls). et . P et hgUg-1h-1 = hWh-1 = W (cette dernière relation provenant de ce que W est normal dans H). On note l’application de dans qui à associe l’élément neutre de et à associe la puissance -ième de dans . P {\displaystyle p}

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